【数学】矩阵

数学上，一个 m × n 的矩阵是指一个有 m 行 n 列元素的矩形阵列。

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}$$

矩阵的作用

1. 表示一个空间

   矩阵由多个基向量构成，恰巧可以描述一个多维空间。

2. 表示一种变换

   当矩阵的基向量本质是另一个空间的向量时，该矩阵的向量，也可以重新转换回基向量所在的空间，这个过程就叫变换。

   例如：物体空间实际是利用物体在世界空间中的三个向量组成的新空间，该空间矩阵可与其向量做乘法运算，使其向量转换回世界空间。

所以根据上述内容的分析可以得出常见矩阵之间的关系：

$物体空间矩阵=物体变换矩阵=物体到世界空间变换矩阵。$

矩阵的运算

余子式

将矩阵中某些行或列去除后，剩下的元素组成的新矩阵。

• k 阶余子式

  去除行或列的数量被称为余子式的阶数。

  对于 1 阶余子式通常记作$M_{ij}$，表示去除了 i 行 j 列。

• 代数余子式

  一种拥有正负号的余子式叫做代数余子式，其正负号是通过移除的行列序号判断的。

  如$M_{ij}$的代数余子式记作 $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$。

行列式

输入一个矩阵，输出一个标量。记作 $det(A)$ 或 $|A|$ 。

• 求解 n 阶矩阵

  $设 S_n 是序列 \set{1,2,\dots,n}（即列编号）的全部置换的合集$（相关知识见“组合与排列”）

  $$|A| = \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}$$

  或者利用代数余子式计算（只验证过 3 阶矩阵可用）：

  $$|A|= \sum_{j=0}^n a_{1,j}|C_{1,j}|$$

• 求解 2 阶矩阵

  $$\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{vmatrix} = a_{1,1} a_{2,2} - a_{1,2} a_{2,1}$$

TRS 矩阵的表示

TRS 矩阵是最常用的变换矩阵，其本质就是平移、旋转、缩放矩阵的复合，其复合顺序为：

$平移矩阵 * 旋转矩阵 * 缩放矩阵$

平移矩阵（Translate）

$\begin{bmatrix} 1&0&0&x\\ 0&1&0&y\\ 0&0&1&z\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$

旋转矩阵（Rotate）

$Z轴旋转矩阵= \begin{bmatrix} \cos(z)&-\sin(z)&0\\ \sin(z)&\cos(z)&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

$X轴旋转矩阵= \begin{bmatrix} 1&0&0&\\ 0&\cos(x)&-\sin(x)&\\ 0&\sin(x)&\cos(x) \end{bmatrix}$

$Y轴旋转矩阵= \begin{bmatrix} \cos(y)&0&\sin(y)&\\ 0&1&0&\\ -\sin(y)&0&\cos(y) \end{bmatrix}$

若旋转矩阵要同时表示 3 轴旋转，就是通过对 x、y、z 旋转矩阵的复合得出的，如 Unity 中的复合顺序为：

$Z轴旋转矩阵 * X轴旋转矩阵 * Y轴旋转矩阵$

推导复合顺序过程是这样的：

1. 在 Unity 中放一个方块。
2. 对其先后进行 x、y 旋转并逆序尝试。
3. 发现 Y 旋转永远都是以世界 Y 轴为准而不受物体 Y 轴的影响。
4. 说明 X 旋转无法干扰 Y 旋转，但反之可以。
5. 故矩阵复合一定是先 Y 后 X，Z 同理推出。

缩放矩阵（Scale）

$\begin{bmatrix} x&0&0\\ 0&y&0\\ 0&0&z \end{bmatrix}$

TRS 矩阵的拆解

从 TRS 矩阵中逆推出原本的位移、旋转、缩放。

部分情况下旋转是无法被真正逆推回来的，这也解释了为什么旋转到特定角度时继续旋转会出问题，因此旋转物体时要保留原始的旋转值，不能完全依靠矩阵。

Vector3 position;
Vector3 rotation;
Vector3 scale;
Matrix4x4 matrix4X4 = transform.localToWorldMatrix;
position = matrix4X4.GetColumn(3);
Matrix4x4 sqrScaleMatrix = matrix4X4.transpose * matrix4X4;
scale = new Vector3(Mathf.Sqrt(sqrScaleMatrix.m00), Mathf.Sqrt(sqrScaleMatrix.m11), Mathf.Sqrt(sqrScaleMatrix.m22));
Matrix4x4 rotationMatrix = matrix4X4 * Matrix4x4.Scale(new Vector3(1 / scale.x, 1 / scale.y, 1 / scale.z));
if (Mathf.Abs(Mathf.Abs(rotationMatrix.m12) - 1) > 0.001f) //A(Sinx) != 1,CosX != 0
{
    //cosX为负?
    rotation.y = Mathf.Atan2(rotationMatrix.m02, rotationMatrix.m22);
    rotation.z = Mathf.Atan2(rotationMatrix.m10, rotationMatrix.m11);
    float cosX = rotationMatrix.m02 != 0
        ? rotationMatrix.m02 / Mathf.Sin(rotation.y)
        : rotationMatrix.m22 / Mathf.Cos(rotation.y);
    rotation.x = cosX > 0
        ? Mathf.Asin(-rotationMatrix.m12)
        : Mathf.PI - Mathf.Asin(-rotationMatrix.m12);
 }
else //Abs(Sinx) == 1,CosX == 0
{
    if (-rotationMatrix.m12 > 0)
    {
        float yMinusZ = Mathf.Atan2(rotationMatrix.m01,rotationMatrix.m00);
        rotation.z = 0;
        rotation.y = yMinusZ;
        rotation.x = Mathf.PI / 2;
    }
    else
    {
        float yAddZ = Mathf.Atan2(-rotationMatrix.m01,rotationMatrix.m00);
        rotation.z = 0;
        rotation.y = yAddZ;
        rotation.x = -Mathf.PI / 2;
    }
}
rotation *= Mathf.Rad2Deg;