【数学】向量

向量的运算

点乘

输入两个向量，输出一个标量。又称作标量积，内积。

定义

• 几何定义：$\vec{a} \cdot{} \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta)$
• 代数定义：$\vec{a} \cdot{} \vec{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$

意义

• dot(a,b) > 0 ：a 和 b 同向，即夹角为 0-90。
• dot(a,b) = 0 ：a 和 b 相互垂直。
• dot(a,b) < 0 ：a 和 b 反向，即夹角为 90-180。

性质

• 满足交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
• 满足加法分配律：$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
• 乘以标量时满足：$( c_1 \vec{a} ) \cdot ( c_2 \vec{b} ) = ( c_1 c_2 ) ( \vec{a} \cdot \vec{b} )$

叉乘

输入两个向量，输出一个向量。又称作外积，向量积。

定义

• 几何定义：

  $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta) \vec{n}$

  $其中 \theta 是 \vec{a},\vec{b} 的夹角，\vec{n}是与\vec{a},\vec{b}所构成的平面垂直的单位向量。$

• 代数定义：

  $\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} &= \begin{vmatrix} \vec{x} & \vec{y} & \vec{z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\\ &= \vec{x}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}+ \vec{y}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}+ \vec{z}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}\\ &= \vec{x}(a_yb_z - a_zb_y) - \vec{y}(a_xb_z - a_zb_x) + \vec{z}(a_xb_y - a_yb_x) \end{aligned}$

  $其中\vec{x},\vec{y},\vec{z} 分别为三维空间的三个基向量$

意义

• 计算与 a 和 b 相垂直向量 c。
• c 的模长等于以 a，b 为临边的四边形面积。
• 伸出手，掌心对准 a 和 b 的夹角，手掌应能通过弯曲模拟 a 旋转到 b 的状态，此时大拇指为旋转轴，同时也便是叉乘出的新向量 c。

夹角

给定任意两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 求其夹角：

$$\begin{aligned} angle(\vec{a},\vec{b}) &= \arccos(\frac{|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)}{|\vec{a}||\vec{b}|}) \\ &= \arccos(\frac{dot(\vec{a},\vec{b})}{ |\vec{a}||\vec{b}|})\\ \end{aligned}$$

投影

若 $\vec{v}$ 是待投影的向量，$\vec{n}$ 是投影到的法线，则：

$$\begin{aligned} project(\vec{v},\vec{n}) &= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} * |\vec{v}| \cos(\theta)\\ &= \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} * \frac{dot(\vec{v},\vec{n})}{|\vec{n}|} \end{aligned}$$

特别当 $\vec{n}$ 为单位向量时：

$$project(\vec{v},\vec{n}) = \vec{n} * dot(\vec{v},\vec{n})$$

旋转

给定向量 $\vec{v}$ 以 $\vec{n}$ 为旋转轴转 $\theta$ 度，求旋转后新向量：

$$\begin{aligned} \vec{v}_\parallel &= project(\vec{v},\vec{n})\\ \vec{v}_\perp &= \vec{v} - \vec{v}_\parallel\\ rotate(\vec{v},\vec{n},\theta) &= \vec{v}_{\perp} \cos(\theta) + cross(\vec{n},\vec{v}_{\perp}) \sin(\theta) + \vec{v}_{\parallel}\\ \end{aligned}$$

基本原理是将 $\vec{v}$ 拆解成两个向量旋转的复合：一个平行旋转轴故无需旋转；一个与旋转轴垂直，可借助叉乘构建二维旋转坐标系，利用三角函数轻松求出旋转后的向量；